liliana :

Исследование функции проводится по схеме:

1. Область определения функции.

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.

Если f(-x) = f(x), то функция четна, если f(-x) = -f(x), то функция нечетн, в противном случае f(x) – функция общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ вида  (x₀; 0) находим из решения уравнения f(x)=0, где – x₀ решение уравнения .

Точки пересечения с осью ОY имеют вид (0; f(0)) .

4. Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные значения f(x)>0 или отрицательные значения f(x)<0.

5. Нахождение производной функции, её области определения и критических точек.

Критические точки функции – точки из области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов.

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков.

Если f'(x)>0, то функция возрастает на этом промежутке; если  f'(x)<0, то функция убывает на этом промежутке.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба.

Решаем f"(x)=0. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки.

Если f"(x)>0, то график функции имеет выпуклость вниз, если f"(x)<0, то график функции имеет выпуклость вверх.

Если при переходе через точку, в которой f"(x)=0 или  не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

8. Исследование поведения функции в окрестности точек разрыва и на бесконечности.

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы lim_{x-> a+ε} f(x) и lim_{x-> a-ε} f(x). Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая x=a — вертикальная асимптота.

9. При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот.

Если для функции f(x) выполняется условие lim_x->∞ |f(x) - (kx+b)| = 0,

то прямая y = kx + b  является асимптотой графика функции у=f(x) при х ->∞.

k = lim_x->∞ f(x)/x ;           b = lim_x->∞ (f(x) - kx).

9. Построение графика. При необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках.