Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма
первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей.
В ответе запишите большее из слагаемых.

Решение. Пусть числа будут  х  и   64-х. Пусть 64-х - первое число,
а х - второе (можно наоборот, но так проще).

Составим функцию, задающую сумму первого числа и квадрат второго.

S(x) = (64-x) + х² ;  S(x)=x²-x+64.   

Графиком S(x) является парабола, ветви вверх, функция имеет
наименьшее значение в точке х0=-(-1)/2 = 0,5
Т.о. одно число 0,5, а второе 64-0.5 = 63.5

Можно решать и через производную (2-й способ).

Найдем наименьшее значение функции.

S(x) = -1+2x = 0  -->  2x=1:   x=0,5   Производная меняет знак в т. 0,5
с минуса на плюс, значит, х0 - точка минимума.

Ответ: 0,5  и  63,5

Надо изготовить бак объемом 50м³.

Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H),
чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Решение.   V = пR²H = 50  -->   H = 50/(пR²).  
Составим функцию площади поверхности цилиндра.

S=2пRH + 2пR² = 2пR* 50/(пR²) + 2пR² = 100/R + 2пR²

S(R) = 100/R + 2пR² ,    найдем точку минимума функции S(R) на интервале (0; +∞).

S(R) = -100/R² + 4пR = 0   -->  R³ = 25/п,   R₁= (25/п)^1/3  —точка экстремума.

S   0             –          R₁             +                     R₁ - точка минимума функции.

S(R)     убывает ↓            возрастает ↑

При R = R₁   высота бака будет     H = 50 / (п(25/п)^2/3)  

Н = 10/(5п)^1/3 , а радиус бака R= (25/п)^1/3

** Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки если радиус сечения равен 20 см.

Решение Centurio.   http://postupivuz.ru/vopros/11707.htm

** Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точнку, если расстояние между источниками 24 метра. Освещенность E точки обратно пропорциональна расстоянию её от источика света.

Решение Centurio.   http://postupivuz.ru/vopros/13190.htm

** Определить размер открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 метра кубического так, чтобы на облицовку его стен и дна ушло наименьшее количество материала.

Решение Volkova_novoros. https://postupivuz.ru/vopros/9320.htm

Число 46 представьте в виде суммы 2 положительных чисел так,
чтобы сума кубов этих чисел была наименьшей

Решение.    S(х) = (46-x)³ + x³  .    
Найдем наименьшее значение функции на промежутке (0;46).

S(x) = -3(46-x)² +3x² = 0

(46-x)² =x² ;      46-x = x;   46=2x;   x=23 

Ответ: 23 и 23.

примечание: на вопрос, почему в экстремальной точке х=23 находится min,
отвечаем, что справа от х=23 производная имеет знак минус, а справа от этой точки 
— имеет знак плюс, т.е. слева ф-ия убывает, а справа от х=23 - возрастает.

Какое число, сложенное с обратным ему, даст наименьшую сумму?

Решение. S(x)= x + 1/x - сумма числа и обратного ему, х не равен 0.

S(x)= 1 - 1/x² =0        -->  x²=1;  x=±1

Площадь прямоугольного участка 144см². При каких размерах участка
длина окружающего его забора будет наименьшей?.

Решение. Пусть стороны участка х и у. Тогда площадь ху=144  -->  y=144/x.

Составим функцию периметра:  Р=2(х+у), тогда Р(у) = 2(х+144/x), где    0<х<+∞

Найдем наименьшее значение этой функции.

P(y) = 2(1 -144/x² ) = 0

144/x² = 1;  x² =144;  x=12 - точка минимума,  т.к. производная меняет знак с минуса на плюс
при переходе через х0=12)

y    ______-___________12__________+_________

y        y(x)   убывает      х_min             у(х)  возрастает  

y = 144 / 12 = 12.

Получили, что длина и шириина участка равны 12,
т.е. наименьший периметр будет у квадратного участка.

Определите наименьшее значение периметра
прямоугольного треугольника, если его площадь равна 8 см².

Решение.   Пусть катеты равны х и у.

ху/2=8    ху=16    

стороны 3-ка х и 16/х

Гипотенуза:   с²=х²+256/х²        с=√(х⁴+256) /х

Составим функцию периметра: P(x)= х +16/х + √(х⁴+256) /х

Найдем наименьшее значение функции Р(х) на промежутке (0; +∞)

Р(х)= 1  -16/х² + [(2х⁴ /√(х⁴+256)  - √(х⁴+256)] / x² = 0

Р(х)= 1  -16/х² + (х⁴-256) /(х²√(х⁴+256) ) = 0

приведем первые 2 слагаемых к общему знаменателю:

(х²-16)/х² + (х²-16)(х²+16)/(х²*√(х⁴+256) = 0

(х²-16) * (1/х² + (х²+16) / ( х²*√(х⁴+256) ) = 0

получаем х²=16

х=4, у=4 - катеты 3-ка с наименьшим периметром

^P(x)    0____-_____4_______+_____

P(x)          убыв     хmin           возр

Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной
покрасили в три цвета: одну грань – в красный, другую – в синий, третью –
в белый. Найдите наибольшее значение объема такого параллелепипеда,
если сумма площадей красной и синей граней равна 297,
а периметр красной грани  на 6 меньше периметра белой грани.

Решение   PRIPYAT

http://postupivuz.ru/vopros/19163.htm

Найдите радиус основания цилиндра, имеющего наибольший объем при данной полной поверхности, равной 48п см².

https://postupivuz.ru/vopros/19648.htm