Рассмотрим треугольники AO₁O и BOO₂ - они равнобедренные, т.к. AO₁ = OO₁ и BO₂ = OO₂.

Также углы AOO₁ = BOO₂ как вертикальные. AO = BO по условию.

Тогда из равнобедренности треугольников следует, что углы AOO₁ = BOO₂ = OAO₁ = OBO₂.

Получаем что треугольники AO₁O = BOO₂ равны по стороне (AO = BO) и двум прилежащим к ней углам (AOO₁ = BOO₂ и OAO₁ = OBO₂). Тогда равны радиусы OO₁ = OO₂, кроме того, центры окружностей O₁ и O₂ симметричны относительно точки O, т.к. O - центр отрезка O₁O₂.

Значите, симметричны и заданные окружности (ч.т.д.)