Длина диаметра шара, вписанного в правильную треугольную призму, равна 6. Вычислить длину радиуса шара, который касается трех гранй призмы и вписанного шара.
По условию задачи диаметр вписанного шара равен 6. Значит R = 3.
Из условий касания по рисунку видно, что: TO = R+r TS = r OH = R
Рассмотрим трапецию TSHO, проведём SK||TO, тогда HK = OH-OK = OH-TS = R-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник SHK. Найдём SH по теореме Пифагора: SH = √((R+r)2 - (R-r)2) = 2√(Rr)
Рассмотрим основание - правильный треугольник, тогда AN - высота, биссетриса и медиана, точка H - точка пересечения высот, биссектрис, медиан, а также центр вписанной и описанной окружности. NH = R, но AN - медиана и делится точкой пересечения как 2:1, тогда AH = 2R Тогда AS = AH - SH = 2R - 2√(Rr)
Наконец, рассмотрим в основании прямоугольный треугольник ASF, здесь SF = r и угол FAS = 30 градусов, т.к. AS - биссектриса угла правильного треугольника (а угол правильного треугольника равен 60 градусов) Но катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, поэтому: SF = 1/2 * AS r = 1/2 * (2R - 2√(Rr)) r = R - √(Rr) r = 3 - √(3r)