Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Текстовые задачи ЕГЭ, ГИА » стереометрия

стереометрия

создана: 14.02.2019 в 14:31
................................................

 ( +20 ) 

:

Длина диаметра шара, вписанного в правильную треугольную призму, равна 6.  Вычислить длину радиуса шара, который касается трех гранй призмы и вписанного шара. 

 ( +1026 ) 
14.02.2019 09:58
Комментировать Верное решение
(баллы:+15)

Это стереометрия, а не планиметрия!

По условию задачи диаметр вписанного шара равен 6. Значит R = 3.

Из условий касания по рисунку видно, что:
TO = R+r
TS = r
OH = R

Рассмотрим трапецию TSHO, проведём SK||TO, тогда HK = OH-OK = OH-TS = R-r.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SHK. Найдём SH по теореме Пифагора:
SH = √((R+r)2 - (R-r)2) = 2√(Rr)

Рассмотрим основание - правильный треугольник, тогда AN - высота, биссетриса и медиана, точка H - точка пересечения высот, биссектрис, медиан, а также центр вписанной и описанной окружности.
NH = R, но AN - медиана и делится точкой пересечения как 2:1, тогда AH = 2R
Тогда AS = AH - SH = 2R - 2√(Rr)

Наконец, рассмотрим в основании прямоугольный треугольник ASF, здесь SF = r и угол FAS = 30 градусов, т.к. AS - биссектриса угла правильного треугольника (а угол правильного треугольника равен 60 градусов)
Но катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, поэтому:
SF = 1/2 * AS
r = 1/2 * (2R - 2√(Rr))
r = R - √(Rr)
r = 3 - √(3r)

Заменим √r = t
t2 = 3 - t√3
t2 + t√3 - 3 = 0
D = 3 + 4*3 = 15
t12 = (-√3 ± √15)/2

Выберем только положительный корень: t = (√15 - √3)/2

r = t2 = (√15 - √3)2/ 4 = (15 - 2√45 + 3) / 4 = (18 - 2√45) / 4= (9 - √45) / 2 = (9 - 3√5) / 2

r = 3/2 * (3-√5)

Ответ: 3/2 * (3-√5)

 ( +20 ) 
14.02.2019 14:31
Комментировать

СПАСИБО!!!  ОГРОМНОЕ!!!!Smile

Хочу написать ответ