Упростим левую часть 

(tg²a+ctg²a)•sin²a / (tg⁴a+1)  = 

=  ( tg²a+ 1/tg²a ) •sin²a / (tg⁴a+1)  =       

                   {приведем в первых скобках к общему знаменателю}

=  ( tg⁴a+ 1) / tg²a ) •sin²a / (tg⁴a+1)  =     {скобки сокращаются}  

= sin²a / tg²a =  sin²a / (sin²a/cos²a) = cos²a

 что и требовалось доказать