(х+1)(у+2)(z+8) ≥ 32√(xyz)

xyz + 8xy + 2xz +16x + yz + 8y +2z + 16 ≥ 32√(xyz)

xyz + 2(4xy + z) + 2(xz + 4y) + (16x + yz) + 16 ≥ 32√(xyz)

Рассотрим выражения:
A² = (2√(xy) – √z)² = (4xy + z – 4√(xyz)), тогда 4xy + z = A² + 4√(xyz)
B² = (√(xz) – 2√y)² = (xz + 4y – 4√(xyz)), тогда xz + 4y = B² + 4√(xyz)
C² = (4√x – √(yz))² = (16x + yz – 8√(xyz)), тогда 16x + yz = C² + 8√(xyz)

Подставим:

xyz + 2(A² + 4√(xyz)) + 2(B² + 4√(xyz)) + (C² + 8√(xyz)) + 16 ≥ 32√(xyz)

xyz + 2A² + 8√(xyz) + 2B² + 8√(xyz) + C² + 8√(xyz) + 16 ≥ 32√(xyz)

xyz + 24√(xyz) + 16 + 2A² + 2B² + C²  ≥ 32√(xyz)

xyz – 8√(xyz) + 16 + 2A² + 2B² + C²  ≥ 0

(√(xyz) - 4)² + 2A² + 2B² + C²  ≥ 0

Но сумма квадратов всегда неотрицательна, так как неотрицательно каждое из слагаемых. Причём равенство достигается только в случае равенства нулю всех слагаемых одновременно!

P.S. Равенство например достигается при x=1, y=2, z=8