Я думаю, что скорее всего Вас просили найти угол C.

Из прямоугольного треугольника ABC находим по теореме Пифагора, что:

AD² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25²
AD = 25

Т.к. в четырёхугольник вписана окружность, то AB + CD = AD + BC.

Пусть BC = x, тогда 15 + CD = 20 + x, значит CD = x + 5

Рассмотрим треугольник BCD. Площадь треугольника ABD равна S_ABD = 1/2 * 15 * 20 = 150.
Тогда S_BCD = S_ABCD – S_ABD = 450 – 150 = 300

А периметр P_ABD = x + (x+5) + 25 = 2x + 30

Найдём площадь по формуле Герона.

p = (2x + 30)/2 = x+ 15
p–a = 15
p–b = 10
p–c = x–10

S = √p(p-a)(p-b)(p-c) = √(15·10(x-10)(x+15)) = 300

15·10(x-10)(x+15) = 300²
(x-10)(x+15) = 600

x² + 5x - 750 = 0
Подберём корни 25 и -30

Отсюда находим, что x = 25.

Если Вас просили длину окружности, то

Площадь четырёхугольника, в который вписана окружность можно найти следующим образом:

S = 1/2 P * r

А его периметр равен: P = 15 + 20 +x + (x+5) = 15 + 20 +25 +30 = 90

S = 1/2 * 90 * r = 450

r = 10

C = 2Пr = 20П

Если просили угол, то

Найдём площадь данного треугольника еще одним способом:

S = 1/2 * sinС * x * (x+5) = 1/2*sinС * 25 * 30 = 300

sin C = 4/5, С = arcsin 4/5