1+(sinx)√(2ctgx) ≤0

ОДЗ: {ctgx≥0                      {x c I, III четверти

        {sinx≠0                       { x≠ пk, k c Z

1 ≤ -sinx*√(2ctgx) 

 -sinx*√(2ctgx) ≥ 1 >0   -->   sinx <0    (т.к. √(2сtgx) >0),

значит x принадлежит III четверти.

Обе части неравенства положительны, возводим в квадрат.

sin²x *2 cosx/sinx ≥ 1

2sinx*cosx ≥1

sin2x ≥ 1  -->   sin2x = 1  ( т.к. |sinx|≤1 )

2x = п/2 + 2пk;

x = п/4 +пk,  учитывая, что х с III четверти, получим

х= п+ п/4 + 2пk,

x = 5п/4 + 2пk,  kc Z     - ответ.