Значение под корнем должно быть неотрицательным, значит, sin(x) должен быть отрицательным. По формулам приведения известно, что sin(π+x)=-sin(x), ctg(π+x)=ctg(x). Перепишем неравенство:
sin(π+х)·√(2ctg(π+x))≤-1
-√(sin2(π+х)·2cos(π+х)/sin(π+х))≤-1
-√(2sin(π+х)cos(π+х))≤-1
-√sin(2(π+х))≤-1
sin(2(π+х))≥1 - знак неравенства сменился, потому что сменился знак и у правой части
Синус любого угла не может быть больше 1, поэтому неравенство обращается в уравнение
sin(2(π+х))=1
2(π+х)=π/2+2πk
π+х=π/4+πk
x=π/4-π+πk
x=-3π/4+πk
Так как мы возводили в квадрат, т.е., фактически, решали неравенство для модулей, то сюда попало и решение для неравенства √sin(2(π+х))≥1, и это решение надо исключить. Вспоминаем, что синус - функция с перидом 2π, тогда окончательный ответ будет