Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку

и в этой точке - общую касательную; напишите уравнение этой касательной 

             y=√(x+1),     у=2 - √(1-х)

Решение.

y=√(x+1),  у=2-√(1-х)

ОДЗ для первой ф-ции х≥ -1, для второй х≤1.

Следовательно,  рассматриваем функции на промежутке [-1; 1].

1) Найдем точку касания графиков

√(x+1) = 2 - √(1-х)     

    возводим в квадрат обе части

х+1 = 4 -4√(1-х) + 1-х

2√(1-х) = 2 - х        Заметим, что 2-х≥0,   1-x≥0   и  х+1≥0, т.е. хС [-1;1]

Еще раз возведем в квадрат.    4(1-х) = 4 - 4х +х²

Получаем х=0, х=-3 не удовл. допустимым значениям.

х=0 - единственная общая точка.

2) Составим уравнение касательной для первой функции в точке х=0.    

f1(x) = y(0)+y(0)*(x-0) = √(0+1) + 1/(2√(0+1)) *(x-0) =  1+ x/2

3) Уравнение касательной для второй функции:

f2(x) = 2-√(1-0) + 1/(2√(1-0)) *(x-0) = 1 + x/2

Т.о. уравнение касательной  f(x) = 1 + x/2

Это графики и общая касательная.

В какой точке графика f(x)=x² касательная перпендикулярна прямой x+2y+1=0

Решение.

Найдем угловой коэффициент для f(x) . k1= f(x)=2x

х+2у+1=0  →       2у=-х-1     у= -1/2 х -1/2     k2=-1/2

k1*k2=-1 - условие перпендикулярности прямых

2х*(-1/2) = -1

-х=-1        х=1      - ответ.

Вычислить, под каким углом пересекаются заданные кривые

             y = 1/(1+x²)      и      y = 1/(x+1)

Решение http://www.postupivuz.ru/vopros/12747.htm