Решение.    Пусть маленьких коробок в первый день было х штук, а больших у штук.
В маленькие коробки упаковывали по 5 деталей, а в большие по m деталей.

В первый день упаковали всего 5х+mу деталей, что составило 1454 детали.

Во второй день использовали у маленьких и х больших коробок, в них упаковали 5у+mх деталей, что составило 1467 деталей.

Составим систему уравнений:

5х + my = 1454   (1)

5y + mx = 1467   (2)

Заметим, что х, у, m - целые положительные числа.

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1). Получим

5(у-х) + m(х-у) = 13

(у-х)(5-m) = 13

Т.к. у-х - целое число и 5-m - целое, а их произведение равно 13, то у-х и 5-m - делители числа 13.

Делителями простого числа 13 яляются 1 и 13. Рассмотрим 4 случая:

1) у-х=1,   5-m=13.     Тогда m=-8, что не удовлетворяет условию задачи.

2) у-х=-1   5-m=-13     Тогда m=18, у=х-1

    Подставим m и у в (1):   5х+18(х-1) = 1454;   23х=1472;  х= 64

3) у-х=13,  5-m=1.    Тогда m=4,  у=13+х.

Подставим m и у в (1):

5х +4(13+х) = 1454;   5х +52 +4х = 1454

9х = 1402.   х - не является целым

4) у-х=-13   5-m =-1.   Тогда m=6   у=х-13

(1): 5х +6(х-13)=1454

11х -78=1454    11х= 1532,  х - не целое.

Ответ: х=64