В урне имеются 3 белых и 3 синих шара. Одновременно вынимаются 3 шара. Составить закон распределения случайной величины Х, которая равна числу синих шаров среди вынутых.
Решение.
Xi
0
1
2
3
Pi
1/20
9/20
9/20
1/20
1) 0 синих шаров вынуто. Найдем вероятность того, что первый шар белый и второй белый и третий белый.
Р= 3/6 * 2/5*1/4 = 1/20
2) Вынут 1 синий шар и 2 белых.
Исход - вынуто 3 шара. Количество всех исходов С63 = 6!/(3!*3!) = 20
Количество благоприятных исходов (1 синий и 2 белых) равно 3*С32 = 3*3!/2! = 9
Р=9/20
3) Вынули 1 белый 2 синих шара. Аналогично п.2) р=1/20
Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15, наугад извлекают 3 жетона. Составьте таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны 5. Найти Mξ (Математическое ожидание).
Решение.
Исходом считаем выбор тройки целых чисел от 1 до 15. Порядок чисел не учитываем.
В этой тройке может содержаться 0 или 1 или 2 или 3 числа, кратных 5. (5, 10, 15)
xi
0
1
2
3
pi
p0
p1
p2
p3
pi - вероятность того, что среди трех жетонов имеется i жетонов с номерами, кратными 5.
C153 - количество всех исходов выбора трех жетонов. У 12 жетонов номера не кратны трем.
рi = m/n, m - количество благоприятных исходов (i номеров кратно 5), n - количество всех исходов.
Cnm = n!/(m!(n-m)!)
р0 = С123/ C153
р1 = C122*3 / C153
р2 = 12* С32 / C153
p3 = 1 / C153
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
М = ∑ xi*pi, i=0,1,2,3
M = 0*p0 + 1*p1 + 2*p2 + 3*p3
pi необходимо вычислить по формулам, указанным выше.
Составить таблицу распределения кратностей и частот для букв встречающихся в отрывке: "Взбесилась ведьма злая, и снегу захватя, пустила, убегая, в прекрасное дитя"
Решение. Всего букв х =61
Кратность - количество одинаковых букв (сколько раз буква а встречается в тексте, подсчитали, что 7; затем буква б и т.д.).
Из урны , содержащей 4 белых и 6 чёрных шаров , случайным образом и без возвращения извлекаются три шара . Случайная величина Хi -число белых шаровв выборке . Описать закон распределения случайной величины Хi.
Решение. Всего шаров 10, Хi- количество вынутых белых шаров, Рi - вероятность вынуть Xi белых шаров среди вынутых трёх шаров.
Xi
0
1
2
3
Pi
1/6
0,5
0,3
1/30
1) 0 белых шаров вынуто. Найдем вероятность того, что первый шар синий и второй синий и третий синий.
Р0= 6/10 * 5/9*4/8 = 1/6 или так
Исход - "вынуто 3 шара". Количество всех исходов С103 = 10!/(3!*7!) = 120
Р0= С63 /С103= 6!/(3!*3!) / С103 = 20/120=1/6
2) Вынут 1 белый шар и 2 синих.
Количество благоприятных исходов (1 белый и 2 синих) равно 4*С62 =4*6!/(2!*4!) = 60
Случайная величина Q - число бракованных деталей в партии. Число деталей 11, вероятность брака детали 0.2. Составить ряд распределения случайной величины Q .
Решение.
q 0 1 2 ... 11
p p0 p1 р2 ... р11
p0 - вер, что 0 бракованных (1-0,2)11=0,811
р1 - вер, что 1 бракованная, а 10 без брака р1= С111*0,21*0,810 = 11*0,2*0,810
р2 - вер, что 2 брак, а 9 - нет р2=С112*0,22*0,811-2 = 11!/(2!*9!) *0,22*0,89
р3 - вер, что 3 брак, 8 - нет р3=С113*0,23 *0,811-3 = 11!/(3!*8!) *0,23*0,88
