№ 4.   Решите логарифмическое уравнение  с модулями:

           log_п lx²-1l = log _√(п) lxl

б) отберите корни, принадлежащие промежутку [-0,5; 5].

a) log_п lx²-1l = 2 log _п lxl 

 lx²-1l =  lxl ²      

ОДЗ:  х не равен 0, х не равен ±1

 lx²-1l =  lx²|

1) х² -1=х²     решений нет

2) 1-х² = х²

2х² = 1

х²=1/2

х= ±1/√2

б) Т.к. -1/√2 = -√2/2 ≈-0,7,  а 1/√2≈0,7, то промежутку [-0,5; 5] принадлежит корень 1/√2.

Ответ: а) ±1/√2,  б) 1/√2. 

№ 5.  Решите показательное уравнение     4^cosx + 1/4^cosx = 5/2.

          Укажите корни, принадлежащие отрезку (п; 2п).

а)  Пусть 4^cosx = a,  а>0 тогда

а+1/a =5/2        (умножим на 2а)

2a² -5a +2 = 0

D= 25-16=9

a1=(5+3)/4=2   a2=(5-3)/4=1/2

т.к. 4^cosx = 2^2cosx   то

2^2cosx= 2¹   2cosx=1    c0sx =1/2     x=±п/3+2пk

2^2cosx= 2^-1   2cosx=-1    c0sx =-1/2     x=±2п/3+2пk

Можно объединить эти решения:  х=±п/3+пk,  k€ Z

б)  п + п/3 = 4п/3

     2п - п/3 = 5п/3

Ответ:  а) ±п/3 +пk;   б)  4п/3; 5п/3.

№ 6. а) Решите логарифмическое уравнение   log₉ (x³-2x²+1) - log₉₍x-1)² = 0 .

б) Укажите корни, принадлежащие  [log₅ 4; √5]

1) ОДЗ:  х³-2х²+1 >0

         x≠1

Разложим х³-2х²+1 на множители. 

х³-х²-х²+1=х²(х-1) -(х²-1)= (х-1)(х²-х-1) > 0

корни х=1,  х=(1+√5)/2

Т.о. ОДЗ:  ((1-√5)/2; 1) U ((1+√5)/2; +∞)

log₉(x-1)(x²-x-1)/(x-1)² =0

log₉(x²-x-1)/(x-1)=0

(x²-x-1)/(x-1)=1

x²-x-1=x-1

x² -2x=0

x(x-2)=0

x=0;  x=2        Оба корня входят в ОДЗ.

б) log₅4 < log₅5 =1,   а √5>2,  значит х=2 попадает в указанный промежуток, а х=0 не попадает.

log₅4 < 2 <√5

Ответ:2

№ 7.   log_x+1(x³-16x+25) * log_x-1(x+5) = 4

Решение.

Заметим сразу, что х>1 и х≠2.

Попробуем решить неравенство в целых числах. Т.к. правая часть 4, то приравняем каждый логарифм к 2.  Получим систему:

log_x+1(x³-16x+25) =2   

log_x-1(x+5) = 2

Решим второе уравнение.   х+5 = (х-1)²

х+5 = х² - 2х +1;     x²-3x -4 = 0;

x= -1 < 1 (не удовл. допустимым значениям).

х= 4

Подставим в первое ур-ие х=4.

log₅(4³-16*4+25) =2  

log₅ 25 = 2 - верно, значит х=4 - корень исходного уравнения.

Можно (и нужно) доказать, что это корень единственный.

f(x) = log_x+1(x³-16x+25) -возрастает при х>2

g(x)= log_x-1(x+5) - возрастает при х>3, значит при х>3  f(x) и g(x) имеют только 1 корень х=4.

При хС(2;3) целых решений не может быть.

Ответ: 4.

№  8.  log₃ (3x⁴+42) = 1+log_√3 √(13x²+2).

Укажите корни, принадлежащие отрезку [-5/4; 2].

Решение.

1) Т.к (3x⁴+42) >0 при всех х,   (13x²+2)>0  при всех х, то исходное уравнение равносильно

log₃ (3x⁴+42) = log₃3 + log₃ (13x²+2).

3(x⁴+14) = 3(13x²+2)

x⁴+14=13x²+2

x⁴-13x²+12=0       Пусть х²=а, тогда а²-13а+12=0

                            а=1, а=12

х²=1, откуда х=±1

х²=12, откуда х=√12=±2√3

2) Т.к. -2√3< -5/4 <-1 < 2 < 2√3, то отрезку [-5/4; 2] принадлежат корни -1 и 1.

Ответ: а) ±1; ±2√3,  б) ±1.

3 * 4 |x| - 14*2 ^|x| +8=0

Решение Centurio на стр.   http://postupivuz.ru/vopros/18845.htm