Слово "чертижом", видимо, от слова "чертиж" образовано? 

В треугольнике ABC к стороне АС проведена высота h.

Рассмотрим треугольник ABD.

Треугольник ABD - прямоугольный. Угол ABD = 180° - (90°+45°) = 45°. Так как угол ABD = BAD, то |AD| = |BD| = h. По теореме Пифагора |AB|² = |AD|²+|BD|²

10² = h² + h²

100 = 2h²

h² = 50

h = √50 = √(25·2) = 5√2

Площадь треугольника S = (1/2)·h·|AC| = (1/2)·5√2·7√2 = 35·√(2·2)/2 = 35·2/2 = 35 см²