Уравнение касательной - это уравнение прямой и имеет вид y=kx+b
Общая касательная пересекается с каждым графиком в одной точке. Тогда для первого графика точку пересечения с касательной можно найти из уравнения -x2-2x-3 = kx+b, для второго графика из уравнения x2+4x+6 = kx+b
1) -x2-2x-3 = kx+b
x2+2x+3+kx+b = 0
x2+(2+k)x+(3+b) = 0
Касательная имеет с графиком только одну общую точку, следовательно, корень уравнения должен быть один, а это возможно, когда дискриминант равен нулю.
D = (2+k)2-4(3+b) = 0
2) x2+4x+6 = kx+b
x2+4x+6 = kx+b
x2+4x+6-kx-b = 0
x2+(4-k)x+(6-b) = 0
Приравнваем дискриминант к нулю:
D = (4-k)2-4(6-b) = 0
Так как касательная общая, значит, дискриминанты обоих уравнений должны быть равны нулю вместе. Решаем систему уравнений:
{(2+k)2-4(3+b) = 0;
{(4-k)2-4(6-b) = 0.
{ 4+4k+k2-12-4b = 0;
{ 16-8k+k2-24+4b = 0.
{ k2+4k-8-4b = 0;
{ k2-8k-8+4b = 0.
Вычтем почленно из первого уравнения второе:
12k-8b = 0
b = 3k/2 - подставим в первое уравнение:
k2 + 4k - 8 - 4·3k/2 = 0
k2 + 4k - 8 - 6k = 0
k2 - 2k - 8 = 0
k1 = (2-√((-2)2+4·8))/2 = -2
k2 = (2+√((-2)2+4·8))/2 =4
b1 = -2·3/2 = -3
b2 = 4·3/2 = 6
Решение состоит из двух пар чисел (k=-2; b=-3) и (k=4; b=6).
Это означает, что графики имеют две общие касательные, уравнения которых:
