Угол между MN и пл. АВС это угол между MN и её проекцией KN. Проекция точки М попадает на биссектрису угла А.   

tg KNM = MK / KN.   MK= SO/2;  AO=2/3 *AB√3/2 = 2/3√3*√3/2 = 1.

AO = Rоп = a/√3 = 1;  из 3-ка ASO:   SO² = SA² - AO² = (2√10)² - 1²) = 39;  SO=√39.

MK = √39 /2

Найдем KN.  AO=1;  AK=KO=OP=0,5  -->  KP=1.

3-к KNP - прямоугольный.   NP = BP - BN = BC/2 - BC/3 = BC/6 = √3/6.

KN² = KP² + NP² = 1 + 1/12 = 11/12;     KN = √13 / √12

tg KNM = (√39/2)  / (√13 / 2√3) = 3;

угол KNM = arctg 3.