1) Т.к. знаменатель не равен нулю (x2+1>0), то функция определена на всей числовой оси. Также является элементарной, а элементарная функция непрерывная на всей области определения, т.е. непрерывна на всей числовой оси.
2) Найдём предел функции в точке x=1/2: lim (x→1/2) (x+3)/(2-3x) = (1/2+3)/(2-3*1/2) = 3.5 / 0.5 = 7. Предел в точке совпадает со значением функции в этой точке, значит она непрерывна в x=1/2.
3) Функция элементарна. Область определения: x € R\{-1}. Точка x=-1 - точка разрыва. Во всех остальных точках функция определена, а значит непрерывна (в силу элементарности).
lim (x→-1) 2/(x+1) →∞, значит x=-1 точка разрыва II рода.
4) Если кусочно заданная функция задана элементарными функциями, то точки разрыва могут быть в точках склейки, а также в точках, где функция не определена.
Функция определена на всей числовой оси. В точке x=2 функция определена, но она является точкой склейки - проверим на непрерывность.
Найдём односторонние пределы:
lim (x→2-0) f(x) = lim (x→2-0) -x2/2 = -4/2=-2
lim (x→2+0) f(x) = lim (x→2+0) x = 2
lim (x→2-0) f(x) ≠ lim (x→2+0) f(x)
Односторонние пределы существуют, но не равны друг другу, точка x=2 - точка разрыва I рода.
